【高数求导公式大全】在高等数学中，求导是微积分的重要基础内容之一，广泛应用于函数分析、物理建模、工程计算等多个领域。掌握常见的求导公式，有助于提高解题效率和理解函数的变化规律。本文将对常见的高数求导公式进行总结，并以表格形式清晰展示，便于查阅与记忆。
一、基本初等函数的导数
| 函数表达式 | 导数 |
| $ f(x) = C $（C为常数） | $ f'(x) = 0 $ |
| $ f(x) = x^n $（n为实数） | $ f'(x) = nx^{n-1} $ |
| $ f(x) = \sin x $ | $ f'(x) = \cos x $ |
| $ f(x) = \cos x $ | $ f'(x) = -\sin x $ |
| $ f(x) = \tan x $ | $ f'(x) = \sec^2 x $ |
| $ f(x) = \cot x $ | $ f'(x) = -\csc^2 x $ |
| $ f(x) = \sec x $ | $ f'(x) = \sec x \tan x $ |
| $ f(x) = \csc x $ | $ f'(x) = -\csc x \cot x $ |
| $ f(x) = a^x $（a>0, a≠1） | $ f'(x) = a^x \ln a $ |
| $ f(x) = e^x $ | $ f'(x) = e^x $ |
| $ f(x) = \log_a x $（a>0, a≠1） | $ f'(x) = \frac{1}{x \ln a} $ |
| $ f(x) = \ln x $ | $ f'(x) = \frac{1}{x} $ |
二、导数的运算法则
| 法则名称 | 表达式 |
| 常数倍法则 | $ [Cf(x)]' = C f'(x) $ |
| 加减法则 | $ [f(x) \pm g(x)]' = f'(x) \pm g'(x) $ |
| 乘积法则 | $ [f(x)g(x)]' = f'(x)g(x) + f(x)g'(x) $ |
| 商法则 | $ \left[ \frac{f(x)}{g(x)} \right]' = \frac{f'(x)g(x) - f(x)g'(x)}{[g(x)]^2} $（$ g(x) \neq 0 $） |
| 链式法则 | $ [f(g(x))]' = f'(g(x)) \cdot g'(x) $ |
三、反函数与隐函数的导数
- 反函数求导：若 $ y = f(x) $ 的反函数为 $ x = f^{-1}(y) $，则
$$
\frac{dx}{dy} = \frac{1}{\frac{dy}{dx}} \quad \text{（条件：}\frac{dy}{dx} \neq 0\text{）}
$$
- 隐函数求导：对于由方程 $ F(x, y) = 0 $ 所确定的隐函数 $ y = y(x) $，可两边对 $ x $ 求导，利用链式法则求出 $ \frac{dy}{dx} $。
四、高阶导数
高阶导数是对原函数连续求导的结果。例如：
- 二阶导数：$ f''(x) = [f'(x)]' $
- 三阶导数：$ f'''(x) = [f''(x)]' $
某些函数的高阶导数存在规律，如：
- $ f(x) = e^x $，则 $ f^{(n)}(x) = e^x $
- $ f(x) = \sin x $，则 $ f^{(n)}(x) = \sin(x + \frac{n\pi}{2}) $
- $ f(x) = \cos x $，则 $ f^{(n)}(x) = \cos(x + \frac{n\pi}{2}) $
五、常用函数的导数表（简要）
| 函数 | 导数 |
| $ \arcsin x $ | $ \frac{1}{\sqrt{1 - x^2}} $ |
| $ \arccos x $ | $ -\frac{1}{\sqrt{1 - x^2}} $ |
| $ \arctan x $ | $ \frac{1}{1 + x^2} $ |
| $ \text{arccot } x $ | $ -\frac{1}{1 + x^2} $ |
| $ \text{arcsec } x $ | $ \frac{1}{x \sqrt{x^2 - 1}} $ |
| $ \text{arccsc } x $ | $ -\frac{1}{x \sqrt{x^2 - 1}} $ |
六、小结
掌握高数中的求导公式，不仅是考试复习的关键，也是解决实际问题的基础。通过熟记基本函数的导数、灵活运用导数的运算法则以及理解高阶导数的规律，可以更高效地应对各类微分问题。建议在学习过程中多做练习题，逐步提升对导数的理解与应用能力。
如需进一步了解导数的应用或相关例题解析，欢迎继续关注！