【变限积分求导公式总结】在微积分的学习中，变限积分的求导是一个重要的知识点，尤其在处理含有变量上限或下限的积分函数时，掌握其求导法则尤为重要。本文对常见的变限积分求导公式进行系统总结，并通过表格形式清晰展示，便于理解和记忆。
一、基本概念
变限积分指的是积分上限或下限为变量的积分，例如：
$$
F(x) = \int_{a}^{x} f(t) \, dt \quad \text{或} \quad F(x) = \int_{x}^{b} f(t) \, dt
$$
这类函数的导数可以通过“牛顿-莱布尼兹公式”或“变限积分求导法则”来计算。
二、常见变限积分求导公式
| 公式类型 | 表达式 | 导数 | 说明 |
| 基本变限积分 | $ F(x) = \int_{a}^{x} f(t) \, dt $ | $ F'(x) = f(x) $ | 牛顿-莱布尼兹公式直接应用 |
| 下限为变量 | $ F(x) = \int_{x}^{b} f(t) \, dt $ | $ F'(x) = -f(x) $ | 可看作 $ -\int_{b}^{x} f(t) \, dt $，再用基本公式 |
| 上限为函数 | $ F(x) = \int_{a}^{u(x)} f(t) \, dt $ | $ F'(x) = f(u(x)) \cdot u'(x) $ | 链式法则应用 |
| 下限为函数 | $ F(x) = \int_{v(x)}^{b} f(t) \, dt $ | $ F'(x) = -f(v(x)) \cdot v'(x) $ | 同上，注意符号变化 |
| 上下限均为函数 | $ F(x) = \int_{v(x)}^{u(x)} f(t) \, dt $ | $ F'(x) = f(u(x)) \cdot u'(x) - f(v(x)) \cdot v'(x) $ | 综合使用上下限求导法则 |
三、注意事项
1. 变量替换：当积分上限或下限是某个函数时，必须使用链式法则。
2. 符号问题：若积分下限为变量，导数结果前需加负号。
3. 可积性：函数 $ f(t) $ 在积分区间内必须连续或可积，否则无法直接使用上述公式。
4. 复合函数求导：若积分上限或下限本身也是复合函数，需逐步展开求导。
四、实例分析
例1：
$$
F(x) = \int_{0}^{x^2} \sin t \, dt
$$
求导：
$$
F'(x) = \sin(x^2) \cdot 2x = 2x \sin(x^2)
$$
例2：
$$
F(x) = \int_{\ln x}^{e^x} t^2 \, dt
$$
求导：
$$
F'(x) = (e^x)^2 \cdot e^x - (\ln x)^2 \cdot \frac{1}{x} = e^{3x} - \frac{(\ln x)^2}{x}
$$
五、总结
变限积分的求导是微积分中的一个重要技巧，灵活运用基本公式和链式法则可以解决多种实际问题。掌握这些公式不仅有助于提高解题效率，还能加深对积分与导数之间关系的理解。
通过上述表格和示例，可以系统地复习和巩固相关知识，为后续学习打下坚实基础。