【高等数学公式】高等数学是理工科学生必修的一门基础课程，涵盖了微积分、线性代数、微分方程等多个重要领域。掌握和理解这些基本的数学公式，对于学习后续课程以及解决实际问题都具有重要意义。以下是对高等数学中一些常见公式的总结，便于查阅与复习。
一、微积分常用公式
| 公式名称 | 公式表达式 | 说明 |
| 导数定义 | $ f'(x) = \lim_{h \to 0} \frac{f(x+h) - f(x)}{h} $ | 函数在某点的变化率 |
| 基本导数 | $ \frac{d}{dx} x^n = nx^{n-1} $ | 幂函数求导法则 |
| 指数函数导数 | $ \frac{d}{dx} e^x = e^x $ | 自然指数函数的导数 |
| 对数函数导数 | $ \frac{d}{dx} \ln x = \frac{1}{x} $ | 自然对数的导数 |
| 三角函数导数 | $ \frac{d}{dx} \sin x = \cos x $, $ \frac{d}{dx} \cos x = -\sin x $ | 正弦、余弦的导数 |
| 积分基本定理 | $ \int_a^b f(x) dx = F(b) - F(a) $, 其中 $ F'(x) = f(x) $ | 定积分与原函数的关系 |
二、线性代数常用公式
| 公式名称 | 公式表达式 | 说明 |
| 向量内积 | $ \vec{a} \cdot \vec{b} = a_1b_1 + a_2b_2 + \cdots + a_nb_n $ | 向量之间的点积 |
| 矩阵乘法 | $ C_{ij} = \sum_{k=1}^n A_{ik} B_{kj} $ | 矩阵相乘的计算方式 |
| 行列式（2×2） | $ \begin{vmatrix} a & b \\ c & d \end{vmatrix} = ad - bc $ | 二阶行列式的计算 |
| 特征值与特征向量 | $ A\vec{v} = \lambda \vec{v} $ | 矩阵与其特征向量的关系 |
| 矩阵逆 | $ AA^{-1} = I $ | 可逆矩阵的性质 |
三、微分方程基础公式
| 公式名称 | 公式表达式 | 说明 |
| 一阶线性微分方程 | $ \frac{dy}{dx} + P(x)y = Q(x) $ | 标准形式，可用积分因子法求解 |
| 齐次方程 | $ \frac{dy}{dx} = f\left(\frac{y}{x}\right) $ | 可通过变量替换转化为可分离变量方程 |
| 二阶常系数齐次方程 | $ ay'' + by' + cy = 0 $ | 通解由特征方程决定 |
| 非齐次方程特解 | $ y_p = e^{ax}(Ax + B) $ 或类似形式 | 根据非齐次项形式选择特解形式 |
四、级数与泰勒展开
| 公式名称 | 公式表达式 | 说明 | ||
| 等比数列求和 | $ S_n = a_1 \frac{1 - r^n}{1 - r} $ | 当 $ | r | < 1 $ 时，无穷级数和为 $ \frac{a_1}{1 - r} $ |
| 泰勒展开 | $ f(x) = \sum_{n=0}^{\infty} \frac{f^{(n)}(a)}{n!}(x - a)^n $ | 在某点附近用多项式逼近函数 | ||
| 麦克劳林展开 | $ f(x) = \sum_{n=0}^{\infty} \frac{f^{(n)}(0)}{n!}x^n $ | 泰勒展开在 $ x = 0 $ 处的形式 | ||
| 常见函数泰勒展开 | $ e^x = \sum_{n=0}^{\infty} \frac{x^n}{n!} $, $ \sin x = \sum_{n=0}^{\infty} (-1)^n \frac{x^{2n+1}}{(2n+1)!} $ | 常用函数的展开式 |
五、概率与统计基础公式
| 公式名称 | 公式表达式 | 说明 |
| 期望 | $ E(X) = \sum_{i=1}^n x_i p_i $ | 离散随机变量的期望值 |
| 方差 | $ \text{Var}(X) = E[(X - \mu)^2] $ | 衡量数据分布的离散程度 |
| 协方差 | $ \text{Cov}(X,Y) = E[(X - \mu_X)(Y - \mu_Y)] $ | 两个变量之间的相关性衡量 |
| 正态分布 | $ f(x) = \frac{1}{\sigma \sqrt{2\pi}} e^{-\frac{(x - \mu)^2}{2\sigma^2}} $ | 常见的概率密度函数 |
以上内容是对高等数学中部分核心公式的归纳与整理，适用于初学者复习或作为参考资料。建议结合教材与习题进行深入理解和应用。