【高数求导公式】在高等数学中，求导是微积分的重要基础之一，广泛应用于函数分析、物理建模、工程计算等多个领域。掌握常见的求导公式不仅有助于提高解题效率，还能加深对函数变化规律的理解。本文将系统总结常见的高数求导公式，并以表格形式进行展示，便于查阅和记忆。
一、基本初等函数的导数公式
| 函数表达式 | 导数 |
| $ y = C $（C为常数） | $ y' = 0 $ |
| $ y = x^n $（n为实数） | $ y' = nx^{n-1} $ |
| $ y = \sin x $ | $ y' = \cos x $ |
| $ y = \cos x $ | $ y' = -\sin x $ |
| $ y = \tan x $ | $ y' = \sec^2 x $ |
| $ y = \cot x $ | $ y' = -\csc^2 x $ |
| $ y = \sec x $ | $ y' = \sec x \tan x $ |
| $ y = \csc x $ | $ y' = -\csc x \cot x $ |
| $ y = a^x $（a > 0, a ≠ 1） | $ y' = a^x \ln a $ |
| $ y = e^x $ | $ y' = e^x $ |
| $ y = \log_a x $（a > 0, a ≠ 1） | $ y' = \frac{1}{x \ln a} $ |
| $ y = \ln x $ | $ y' = \frac{1}{x} $ |
二、导数的运算法则
| 法则名称 | 公式 |
| 常数倍法则 | $ (Cu)' = Cu' $ |
| 加减法则 | $ (u ± v)' = u' ± v' $ |
| 乘积法则 | $ (uv)' = u'v + uv' $ |
| 商法则 | $ \left( \frac{u}{v} \right)' = \frac{u'v - uv'}{v^2} $（$ v ≠ 0 $） |
| 链式法则 | $ [f(g(x))]' = f'(g(x)) \cdot g'(x) $ |
三、反函数与隐函数的导数
- 反函数求导：若 $ y = f(x) $ 的反函数为 $ x = f^{-1}(y) $，则
$$
\frac{dx}{dy} = \frac{1}{\frac{dy}{dx}} \quad (\text{当 } \frac{dy}{dx} ≠ 0)
$$
- 隐函数求导：对于由方程 $ F(x, y) = 0 $ 所确定的隐函数 $ y = y(x) $，可两边对 $ x $ 求导，再解出 $ y' $。
四、高阶导数与参数方程求导
- 高阶导数：如 $ y'' = (y')' $，表示对原函数连续求导两次。
- 参数方程求导：若 $ x = x(t) $，$ y = y(t) $，则
$$
\frac{dy}{dx} = \frac{\frac{dy}{dt}}{\frac{dx}{dt}} \quad (\text{当 } \frac{dx}{dt} ≠ 0)
$$
五、常见函数的导数示例
| 函数 | 导数 |
| $ y = x^3 + 2x^2 - 5 $ | $ y' = 3x^2 + 4x $ |
| $ y = \sin(2x) $ | $ y' = 2\cos(2x) $ |
| $ y = e^{3x} $ | $ y' = 3e^{3x} $ |
| $ y = \ln(5x + 1) $ | $ y' = \frac{5}{5x + 1} $ |
| $ y = \tan(\sqrt{x}) $ | $ y' = \frac{\sec^2(\sqrt{x})}{2\sqrt{x}} $ |
总结
掌握高数中的求导公式是学习微积分的关键一步。通过熟练运用基本初等函数的导数、导数的运算法则以及复合函数的求导方法，可以解决大多数常见的求导问题。建议在学习过程中多做练习题，结合图表与实际例子加深理解，从而提升数学思维能力和解题技巧。