【常见的求导公式】在微积分的学习中，求导是基础且重要的内容。掌握常见的求导公式，有助于快速解决各种数学问题。以下是对一些常见函数的导数进行总结，并以表格形式展示，便于查阅和记忆。
一、基本初等函数的导数
| 函数表达式 | 导数 |
| $ f(x) = C $（C为常数） | $ f'(x) = 0 $ |
| $ f(x) = x^n $（n为实数） | $ f'(x) = nx^{n-1} $ |
| $ f(x) = e^x $ | $ f'(x) = e^x $ |
| $ f(x) = a^x $（a > 0, a ≠ 1） | $ f'(x) = a^x \ln a $ |
| $ f(x) = \ln x $ | $ f'(x) = \frac{1}{x} $ |
| $ f(x) = \log_a x $（a > 0, a ≠ 1） | $ f'(x) = \frac{1}{x \ln a} $ |
二、三角函数的导数
| 函数表达式 | 导数 |
| $ f(x) = \sin x $ | $ f'(x) = \cos x $ |
| $ f(x) = \cos x $ | $ f'(x) = -\sin x $ |
| $ f(x) = \tan x $ | $ f'(x) = \sec^2 x $ |
| $ f(x) = \cot x $ | $ f'(x) = -\csc^2 x $ |
| $ f(x) = \sec x $ | $ f'(x) = \sec x \tan x $ |
| $ f(x) = \csc x $ | $ f'(x) = -\csc x \cot x $ |
三、反三角函数的导数
| 函数表达式 | 导数 | ||
| $ f(x) = \arcsin x $ | $ f'(x) = \frac{1}{\sqrt{1 - x^2}} $ | ||
| $ f(x) = \arccos x $ | $ f'(x) = -\frac{1}{\sqrt{1 - x^2}} $ | ||
| $ f(x) = \arctan x $ | $ f'(x) = \frac{1}{1 + x^2} $ | ||
| $ f(x) = \text{arccot } x $ | $ f'(x) = -\frac{1}{1 + x^2} $ | ||
| $ f(x) = \text{arcsec } x $ | $ f'(x) = \frac{1}{ | x | \sqrt{x^2 - 1}} $ |
| $ f(x) = \text{arccsc } x $ | $ f'(x) = -\frac{1}{ | x | \sqrt{x^2 - 1}} $ |
四、复合函数与链式法则
对于复合函数 $ f(g(x)) $，其导数为：
$$
f'(g(x)) \cdot g'(x)
$$
例如：
- 若 $ f(x) = \sin(3x) $，则 $ f'(x) = \cos(3x) \cdot 3 = 3\cos(3x) $
- 若 $ f(x) = (x^2 + 1)^3 $，则 $ f'(x) = 3(x^2 + 1)^2 \cdot 2x = 6x(x^2 + 1)^2 $
五、其他常用导数公式
| 函数表达式 | 导数 |
| $ f(x) = \sqrt{x} $ | $ f'(x) = \frac{1}{2\sqrt{x}} $ |
| $ f(x) = \frac{1}{x} $ | $ f'(x) = -\frac{1}{x^2} $ |
| $ f(x) = \sinh x $ | $ f'(x) = \cosh x $ |
| $ f(x) = \cosh x $ | $ f'(x) = \sinh x $ |
| $ f(x) = \tanh x $ | $ f'(x) = \text{sech}^2 x $ |
通过以上表格，可以系统地了解各类函数的导数规律。这些公式是求导运算的基础，建议在学习过程中反复练习，提高对导数的理解和应用能力。