【105的三角函数值】在三角函数的学习中，常见的角度如30°、45°、60°等都有明确的函数值，但像105°这样的非标准角度，其三角函数值则需要通过一些方法进行计算或推导。105°可以看作是60°与45°的和，因此可以通过三角函数的和角公式来求得其正弦、余弦和正切值。以下是对105°三角函数值的总结。
一、105°的三角函数值推导
105° = 60° + 45°
利用和角公式：
- sin(A + B) = sinA·cosB + cosA·sinB
- cos(A + B) = cosA·cosB - sinA·sinB
- tan(A + B) = (tanA + tanB) / (1 - tanA·tanB)
代入 A = 60°, B = 45°：
1. 正弦值（sin105°）
$$
\sin 105^\circ = \sin(60^\circ + 45^\circ) = \sin 60^\circ \cdot \cos 45^\circ + \cos 60^\circ \cdot \sin 45^\circ
$$
$$
= \frac{\sqrt{3}}{2} \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} + \frac{1}{2} \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} = \frac{\sqrt{6}}{4} + \frac{\sqrt{2}}{4} = \frac{\sqrt{6} + \sqrt{2}}{4}
$$
2. 余弦值（cos105°）
$$
\cos 105^\circ = \cos(60^\circ + 45^\circ) = \cos 60^\circ \cdot \cos 45^\circ - \sin 60^\circ \cdot \sin 45^\circ
$$
$$
= \frac{1}{2} \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} - \frac{\sqrt{3}}{2} \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} = \frac{\sqrt{2}}{4} - \frac{\sqrt{6}}{4} = \frac{\sqrt{2} - \sqrt{6}}{4}
$$
3. 正切值（tan105°）
$$
\tan 105^\circ = \tan(60^\circ + 45^\circ) = \frac{\tan 60^\circ + \tan 45^\circ}{1 - \tan 60^\circ \cdot \tan 45^\circ}
$$
$$
= \frac{\sqrt{3} + 1}{1 - \sqrt{3} \cdot 1} = \frac{\sqrt{3} + 1}{1 - \sqrt{3}}
$$
有理化分母：
$$
= \frac{(\sqrt{3} + 1)(1 + \sqrt{3})}{(1 - \sqrt{3})(1 + \sqrt{3})} = \frac{(1 + \sqrt{3})^2}{1 - 3} = \frac{1 + 2\sqrt{3} + 3}{-2} = \frac{4 + 2\sqrt{3}}{-2} = -2 - \sqrt{3}
$$
二、105°三角函数值汇总表
| 角度 | 正弦值（sin） | 余弦值（cos） | 正切值（tan） |
| 105° | $\frac{\sqrt{6} + \sqrt{2}}{4}$ | $\frac{\sqrt{2} - \sqrt{6}}{4}$ | $-2 - \sqrt{3}$ |
三、小结
105°是一个介于90°与180°之间的钝角，其三角函数值虽然不是常用角度，但可以通过和角公式准确计算得出。掌握这类角度的三角函数值有助于更深入理解三角函数的性质，并为后续学习三角恒等式、解三角形等内容打下基础。