问直线到直线的距离公式推导过程

【直线到直线的距离公式推导过程】在解析几何中，计算两条平行直线之间的距离是一个常见问题。该距离的计算不仅在数学中具有重要意义，在工程、物理和计算机图形学等领域也有广泛应用。本文将总结直线到直线的距离公式的推导过程，并以表格形式清晰展示关键步骤与公式。

一、直线到直线的距离定义

设两条直线为 $ L_1 $ 和 $ L_2 $，若它们是平行直线，则它们之间的距离为从一条直线上任一点向另一条直线作垂线的长度。

二、推导过程总结

三、最终公式

对于两条平行直线：

$$

L_1: Ax + By + C_1 = 0 \\

L_2: Ax + By + C_2 = 0

$$

它们之间的距离为：

$$

d = \frac{C_2 - C_1}{\sqrt{A^2 + B^2}}

$$

四、注意事项

- 公式仅适用于平行直线；

- 若两直线不平行，则它们会相交，此时距离为0；

- 若使用点向式表示直线，需先将其转化为标准形式，再应用上述公式。

五、示例说明

假设直线 $ L_1: 2x + 3y + 4 = 0 $，$ L_2: 2x + 3y - 5 = 0 $

则它们之间的距离为：

$$

d = \frac{-5 - 4}{\sqrt{2^2 + 3^2}} = \frac{9}{\sqrt{13}}

$$

通过以上推导过程，我们可以清晰地理解直线到直线的距离公式的来源及其适用条件。掌握这一公式有助于解决实际中的几何问题，提升空间想象与计算能力。